第333章拓扑学
1966年，英国拓扑学家马克·阿姆斯特朗对自己的老师知名拓扑学家erikzeeman说：“拓扑学是如何开始的？”
erikzeeman说：“从欧拉的七桥定理开始的，从这个中间把七桥的模型画成图论，从图论中分析出拓扑等价。”
马克说：“听起来很简单，那如何去研究拓扑学呢？”
erikzeeman说：“主要就是分类，对不同的拓扑结构进行分类。分类出很多曲面，对曲面解构成抽象空间，然后找到拓扑不变量去分类。”
马克说：“那要分类很多曲面，是什么曲面？有标准吗？”
erikzeeman说：“是的，要严格的连续曲面，不能是离散的。”
马克说：“如何说明是连续的？”
erikzeeman说：“就跟我说的一样，这是一个抽象空间，这个空间需要由开集和闭集这样的东西给组成。然后开集和闭集需要引入连续映射系统来完整这个函数的描述。”
马克说：“为什么要用开集和闭集这样的东西？”
erikzeeman说：“因为严格。如果使用几何、数字、符号或者是其他的描述拓扑的系统，都缺乏严格性。如果时间久了会出现很多我们不想要的漏洞。”
马克说：“我明白了。”
erikzeeman说：“在这样的前提下，就可以大胆的研究映射，让曲线充分的施展开来。可以让普通的曲线因为映射充满整个空间。同时开始使用tietze扩张定理。”
马克说：“扩张？如何扩张？”
erikzeeman说：“是r的n维空间的有理点集，扩张到整个空间。”
马克说：“扩张到所有的无理点集？”
erikzeeman说：“恩，是这个意思。”
马克说：“不错，可是刚刚说的这个开集和闭集，这个如何算严格，怎么去连续，变得光滑？”
erikzeeman说：“需要有紧致性和连通性，加有界闭集这种概念。闭集是bai两边类似[1，10]；有界集两边是(1，10]，[1，10）两种。”
马克说：“有界之后，如何紧致化？”
erikzeeman说：“这是海涅－博雷尔定理或有限覆盖定理、定理的主要内容是度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的。”
马克说：“是子集紧致就行吗？那能不能在详细一些，紧致空间的性质是什么？”
erikzeeman说：“紧致性本质上是有限性条件，有限性条件破解类似一日之椎，日取其半，万世不可遏这样的意思。假如孙悟空在如来的手掌心翻跟斗，跟斗云是一个任意序列，停在如来的手指旁是存在一个子列收敛，留下到此一游的字和撒尿是在一个有界的闭集里。或者一个瓶子里装高尔夫球后，可以装石子，然后还可以装沙子，最后还可以装水，这都说明原来的东西不够紧。这些都可以作为例子来想。”
马克说：“不错，这个解释变得清晰了一些。”
erikzeeman说：“然后，就需要了解乘积空间。”
马克说：“乘积空间是干什么的，是要把拓扑空间乘起来吗？”
erikzeeman说：“没错，打个比方，就是r的n维空间是n个r直线乘起来的。”
马克说：“这个是在高纬度实数坐标中的一种比喻。”
erikzeeman说：“现在开始研究连通性。如果非空的a和b都是分离并，他们都在x中，一般是不连通的。”
马克说：“什么？”
erikzeeman继续说：“如果x让分离并连通了，就称之为连通的。”
马克说：“r的n维空间是连通的吗？”
erikzeeman说：“是连通的。”
erikzeeman：“拓扑世界有两种，一个是连通，一个是不通。”
马克说：“如何去判定这些？”
erikzeeman：“比如一个实心圆球内部是处处通，若有一个洞，这个洞不通。”
马克觉得研究拓扑，终归就是说很多东西是不是等价的，或者是符合什么什么特性的，他说：“为了这是干嘛？是为了给各种不同的拓扑进行分类？这是最合理的分类方法？”
erikzeeman：“没错，之后谈拓扑分类时，都是用道路连通性这类符号去运算各种东西的。毕竟拓扑不看尺寸的长短和面积的大小之类的东西。计算的是一种性质，类似洞数等等之类的，同时也要研究这些不同拓扑直接是否是同一种类型。”
马克说：“然后运算是如何远算的？有四则运算这种吗？”马克脑子里有点晕，在想数字计算的事情，没有用心问问题。
erikzeeman：“拓扑中远算往往要做一些工作，一般讲一些复杂形状是如何用简单形状组成的。但此组成也不像简单的垒积木和焊接那么简单。”
马克笑说：“我当然知道你想说的是莫比乌斯带或者克莱因瓶，他们需要对材料进行一些翻转或者变形之后，才能组合在一起。”说到此处，马克在想长条粘贴旋转一遍时是莫比乌斯带，旋转两遍的时候那是什么？虽不是莫比乌斯带那么，但是也不是正常形状。但马克没敢说这些，因为太魔性了。先收一收搞好学问吧。
erikzeeman：“没错，这确是拓扑特点。明白这些拓扑粘合的灵活性。还有一个，就是复杂形状的拓扑是由简单拓扑形状粘合形成。那就需要问，什么是简单的拓扑形状？也就类似堆积木的积木是什么样的？这样的东西是最简单的吗，是不是还可以更简单。这些简单的元件拓扑，也是研究对象。”
马克说：“那当然，这是必须的，拓扑元件知道怎么弄，才能知道拿什么东西去粘。而元件往往就难免的涉及数学中群的知识了。群就是研究数学对象的各种元件的，拓扑肯定也是需要群分类，群运算也需要了。”马克才想起刚刚说四则运算是不合适的。
erikzeeman：“没错，弄清一堆元件后，我们就敢粘贴了，而粘贴的时候必须弄好顺序，先粘哪个，后粘哪个，这种先后顺序就是轨道空间。不同的轨道空间，肯定会粘出不一样的东西。”
马克说：“没错，然后我们就要开始这些工作了。”
erikzeeman：“走到这一步，想必要让自己思想升华一下了，其实知道拓扑学的计算本质后，那是不是就跟数学中图论的东西是相似的，毕竟图的形状，里面也包含洞这些信息，唯一不同的是，图论中连接点和传输线的权重不一样。而拓扑学中这些节点和连线都是平等的。”
马克说：“所以一个个等价的拓扑形状，就成了......”
erikzeeman：“这种等价称之为同伦。”
马克说：“这是？”
erikzeeman：“一个形状，通过连续变化，变成另外一个形状。不破坏其中洞，或者亏格。”
马克恍然大悟道：“所以开始要构造基本的这些群，使用同论这个方法，可以让一个很简单的形状变成各种各样的样子。这些样子当然都是同一类的。之后我们去计算这种各种各样的映射了。一个简单的拓扑元件会出现各种各样同伦型。但是如何很多同伦型的变换物放在一起，也难以判断出这是否是一个简单的元件同伦变换出来的。”