第五章《逻辑》（5）
介绍一逻辑系统
本篇要介绍一整个逻辑系统的一部分。因为现在的逻辑系统化，所以要介绍一系统以为例，因为所介绍的是熔逻辑算学于一炉的大系统，本书只能选择最前及最根本的一部分，同时最前及最根本的部分的题材也就包含传统逻辑教科书的题材。根据作者个人教书的经验，在未举逻辑系统实例之前，关于逻辑系统之种种问题不容易提出，也不容易讨论；此所以在第三部介绍系统，而在第四部讨论关于逻辑系统的种种问题。本篇在第一节提出未解析的命题的推演。这一部分在原书中分为好几部分，共一百六十余命题，第一节仅抄六十余命题。每一命题都有证明。读者或不免感觉这种证明的麻烦，可是其所以完全写出证明者就是因为习而惯之，读者可以得一种训练。
一、未解析的命题的推演
a.解释弁言
这里的解释分以下两条：1.关于符号；2.关于推论。
1.关于符号。
以下的符号不必有以下的意义，可是事实上我们给它们以以下的意义。“p，q，r…”解释成未解析的命题。在本书我们不说它们是最初级的命题。“最初级的命题”这一名称似乎有困难。如果命题要解释，如果我们免不了要用解析的方法以研究命题的意义，则是否有“最初级的命题”，颇发生疑问。即有这样的命题，我们也不容易举例。我们手指一物说“这是红的”。“这是红的”是否最初级的命题颇不易说；但只要我们不解析它，它总是未解析的命题。
“├”表示断定。每一命题都有断定的成分在内。假如我向窗外一望说“今天天晴”，“今天天晴”是一命题，有断定成分夹在里面；假如我讨论命题，说“即以‘今天天晴’”为例，严格地说，“今天天晴”不是命题，因为它没有断定的成分。“├”既表示断定，有此符号的命题，均为此系统断定为真的命题。
“～”表示“非”“负”“假”。它可以视为运算（operation），也可以视为真假两值中的假值。有时运算与值一样，有时不一样。有此符号的命题有时此符号表示此命题之为假，有时无此表示。即以本系统的矛盾律而论，“├：～（p·～p）”，括弧外面那个“～”表示括弧里面的命题是假的；可是括弧里面那个“～”，严格地说，只能视为运算；因为假设p代表一真命题，则括弧里的“～”不过表示p的反面而已。但系统的推行既没有因此发生什么困难，我们也不必多所计较。
每一命题均有号数表示，而证明所根据的命题仅写其号数。假如证明中有［1.1·1.2］这样的符号，此符号表示所引用以为证明的根据的命题为“1.1”与“1.2”两基本命题。
2.关于推论。
p.m.中基本命题共有十个，本书仅抄六个。其余四个一方面在本书不甚重要，另一方面它们所应付的问题，本节不预备提出，所以根本没有抄写的必要。
此处所谓“推论”是英文里的inference，推论原则即principleofinference。推论原则是非常之麻烦的原则，我们在第四部讨论它一方面的困难问题，此处不谈到。
本节的推论约有以下诸点我们应注意。
以下系统是现在所称为自足系统的系统，它有它本身所备的推论原则。既然如此，它的基本命题不仅是前提，而且是推论的方式。命题虽只有一套，而用法不只一样。有些前提只是前提，不能以之为推论方式，例如：所有的人都是有理性的动物，孔子是人，
所以孔子是有理性的动物。
这里的前提均不是推论的方式，前提的真假与推论的对不对不相干。设有下例，则情形不同：所有真命题所蕴涵的命题都是真命题，“q”是真命题所蕴涵的命题，所以“q”是真命题。这里的推论方式与以前的一样，其不同之处即此推论方式亦同时为其本身之一例。在此处我们承认大小前提为真命题，也承认大小前提蕴涵结论，也承认结论是真命题；可是，我们没有明白地说这里的结论就是小前提所说的“q”那样的命题。我们可以换一方法表示此意：设以此种推论方式为“a”方式，这里由大小两前提而达到结论的推论方式也是“a”方式；可是，我们虽知此方式为“a”方式，而没有明文表示它是“a”方式。所有的推论都有这里所说的情形，这情形不是推论原则的问题，是引用推论原则的问题。推论原则可以明文表示，而推论原则的引用，严格地说，不能以明文表示；因为推论原则的引用总是特殊的，而承认此引用为普遍方式之一例，也是特殊的。我们虽欲以明文表示推论方式的引用，每次所表示的虽在明文范围之内，而那一次的表示不在明文范围之内。换句话说，总有一次的引用是直接的；既然如此，我们不如干干脆脆、一刀两断，承认推论原则的引用是直接的。在第四部我们对于此困难问题，稍加讨论，此处不再提及。
照以上所说的看来，头一例中的前提仅是前提，后一例中的前提不仅是前提，而且也是推论的方式。本系统中的基本命题不仅是前提，而且是推论原则；这不过是说，它们有两种用法。以它们为前提是把它们当作结论的根据，由它们所能得到的结论是本系统所能承认为真的命题；以它们为推论原则是把它们当作推论的根据；合乎此原则的推论是本系统所承认为对的推论。
本系统的基本命题之中，我们写上了：“真命题所蕴涵的命题是真命题”这一命题。原书中有两个类似的基本命题，一引用于未解析的命题，一引用于命题函量。但如果本书所抄的系统仅用以下的“1.1”已经尽职（是否如此颇有问题），我们不必有两个类似的基本命题。
b.基本概念与基本命题
1.基本概念：
2.基本定义：
此证明中有连锁推论；若从简便，由（3）（4）（6）已可以得p1蕴涵p4的结论。
（二）在证明中的是推论，是inference。而在这命题中的是蕴涵，是implication。推论说得通的时候，定有蕴涵关系；但有蕴涵关系的时候，不必有推论。在证明中，我们可以说（5）是真的，（6）是真的，“所以”（7）是真的；2.41这一命题虽是真的，而我们既不能说前件是真的，我们也不能说“所以”后件是真的。
a.具一表面任指词的命题的推演
1.解释弁言。
兹假设未解析的命题是“这（指一东西）是红的”，或“这（指一东西）比那个（指另一东西）大”这样的命题。这样的命题可以解析成“个体词（数目不定）——谓词（此处的谓词非第一部的宾词）”。如以“x，y，z…”表示个体，为个体词；以“φ，ψ，x…”表示“性质”，为谓词；则未解析的命题可以容纳到“φx”或“φ（x，y）”等等的命题；而“φx”“φ（x，y）”等等，本书称之为命题函量。
“x，y，z…”“φ，ψ，x…”均称之为任指词。所谓任指词者，是说“x，y，z…”等虽指个体，而不指某一个体；“φ，ψ，x…”虽指性质，而不指某一属性或某一关系质。这里的任指词似乎可以称为“变词”，但无论“任指词”这一名词是否有毛病，而“变词”这一名词总有毛病。词无所谓变，而“x，y，z…”“φ，ψ，x…”也无所谓变。说它们变者在此处似乎是定与不定的问题。任指词一方面“定”，因为“x，y，z…”定指个体；另一方面“不定”，因为它们不定指某某个体。普通指必有所指，而所指者大都是能以“某一”相称的东西或情形。任指词既不指出一能以“某一”相称的东西或情形，而同时又有一固定的范围，所以“x，y，z…”指个体范围之内的任何一个，而“φ，ψ，x…”指性质范围之内的任何一性质。
“x，y，z…”所表示的个体，可以是，而不必是我们经验方面的“具体的东西”。个体两个字仅有相对的意义，它们所代表的不是性质，不是命题，不是函量；可是在一公式内是个体者在另一公式内不必是个体。此处所要求的个体不过是在一范围之内或不是那一范围之内的性质或命题或函量而已。
“φ，ψ，x…”为“谓词”，它们所代表的是性质。照此处的用法，性与质不同；性为质，而质不必为性；性属于一个体，所以称之为属性；质可以兼存于多数个体之间。兹以性质二字总其和。代表性质之词称之为“谓词”。谓词在此处与第一部所谈的宾词不同；在那里的宾词可以说是完全代表属性，此处的谓词也代表关系。“φ，ψ，x…”均为谓词，均代表性质，不过没有指出某一性质而已。
“φx”为命题函量，而非命题。“x”既未指出某一个体，“φ”也没有指出某一性质，“φx”无所谓真假，所以不是命题。它也是任指词，它虽未指出某一命题，而代表具某种形式的命题。假设“φ”所指者为“是红的”，则“x”的范围受限制；假设“x”所指者为我们所称为“书”的个体，则“φ”受限制。这里有能有意思与不能有意思的问题，本篇不提出讨论。
2.本段所选的几个命题。
在原书中，此命题的证明利用第一节中已证明的三段论的原则。
“q”代表“孔子是人”
“r”代表“孔子是会死的”
所以有ψ是x。
在原书中，本段有好几个定义，有一个基本命题。我们在此处仍用a段的办法，抄写几个命题。本书所选的命题不一定就是原书中所认为重要的命题。这情形不限于本段，本节各段均有。
表面任指词的数目可以很多，但在具多数表面任指词的命题中，仅举具两个表面任指词的命题以为例，已经够了。
这里的“φ，ψ，x…”仍为谓词，但个体词的数目增加，谓词所指的情形与以前的不一样，而谓词的解释也受影响。最容易使人想到的就是关系，可是φ（x，y）在此处仍为命题函量，关系词尚未出现。
2.本段所选择的几个命题。
p.m.中这一部分的命题在本书中有解释方面的困难。相同的定义在原书中利用predicativefunction与axiomofreducibility两思想。本书因为种种理由，这两个思想根本没有介绍。所以原来的定义，本书不能直抄。同时用另外方法解释此定义，又为作者才力之所不能及。
这里的同，本书说是“相同”，因为它是否即为我们在知识论方面所能承认为同一律之“同”颇有问题。为便利起见，我们分“同”为以下四种：甲、φ与φ同乙、φ与ψ同
丙、x与x同
丁、x与y同
以上四种，甲乙为一类，丙丁为一类。甲乙是谓词方面的同，概念方面的同，关系方面的同，共相方面的同；丙丁的（x，y）虽不必是我们经验中的具体的东西，而可以是具体的东西，所以丙丁的同可以说是个体的具体的东西方面的同。
但p.m.那本书的主张不是这样。它的同是丙丁类的同，是“x，y，z…”出现之后才有的同，而表示同一律的那一命题在原书中是“├：x=x”那一命题。这样的同，照本书的作者看来，只是相同。“x，y，z…”虽不必代表我们经验中的具体的东西，而可以代表那样的东西；如果代表那样的东西，则“├：x=x”免不了变迁的问题，除非把这命题的效力限制到时点上去。
无论如何，本段所谈的同是原书中的同，不是本书作者所要求于同一律之同。
2.本段所选择的几个命题。
13.16，├：x=y·≡·y=x
（说x与y同等于说y与x同。）