第176章7月：银河奖征文(8)
第176章7月：银河奖征文(8)
“因为……数学是最完美的。逻辑上的完美、正确性上的完美，以及——”邦彦顿了顿，又说道，“纯粹的完美。我希望我学的东西，是永远不会错的。”少年在晨曦中抬起头来，注视着角谷的脸。一种神采在他清澈明净的眼瞳里跳动，起初如同水光般变幻，随后渐渐地凝聚起来，最终在瞳孔的最深处收缩成一点坚定明亮的光芒，再不移动。
许多年来他都是这样坚定地认为着。那些最伟大的公理、定理与推论，都是精致完美、绝无瑕疵的石料，彼此重叠，相互榫合，最终成为一座最为纯粹，也最为完美的通天巨塔。
“纯粹性上的完美是什么意思呢？”角谷问道。
“纯粹是一种形式上的完美。”邦彦想了想，回答说，“数学上的命题要么是真的，要么就一定是假的，不会有模棱两可的，或者是既对又不对的断言存在。”
“判断命题的对与错，其实是一个比较的过程。”角谷说，“当面对新的命题的时候，我们往往将它与之前我们所掌握的知识系统进行比较。如果新的命题相容于我们之前的知识，那么我们就称之为真，反之则是假。因此，数学命题的真假，仅仅是对于数学体系内而言才有价值。但只要在命题上设置一些语言陷阱，就能很轻易地构建出既不是真，又不是假的奇特命题。”
“要怎么构造？”邦彦有些惊奇地问。
“我说的这个命题是假的。”角谷狡黠地笑了笑，“挂谷君，告诉我，我刚才说的这个命题是真的还是假的？”
说谎者悖论。邦彦紧紧地皱起了眉头。如果假定这个命题是真，那么根据命题本身的叙述，则这个命题是假的；但如果假设这个命题是假的，却又会推论出命题是真的这个结论。自相矛盾的命题，如同一个循环不断、无限扣死的死结，让他竟然找不到可以下手去解的地方。
“可这不是数学命题，是逻辑陷阱！”邦彦脑子里突然一个激灵，脱口而出。
“其实都一样。”角谷微微一笑，“数学上的所有公理和定理，都是不可用于证明自身是否正确的。我们的数学体系，其实都建筑在这些不可自证的公理系统之上，如同悬浮在广阔海洋上的冰山，看上去巍峨庄严，但其实并不稳固。因此，想要从这样的体系中找到这样模棱两可的命题，是完全可能的。”
“这就是著名的哥德尔不完备定理：任何蕴含皮亚诺算术公理的系统中，总存在着既无法证明为真，也不能证伪的命题。证明的方法简单却巧妙——只要构造出‘命题的不可自证性是否是不可自证的’这样的问题，那么，便如同说谎者悖论一样，无论假设这个问题是否可证，得到的答案都是相反的。”
“这就是如今我们所知的数学。”角谷似乎轻轻地叹息了一声，一片云翳遮住了太阳，房间里暗了下来。半明半暗的光线中，男人的神情透着些萧索，“它不仅不是完备的，也不是相容的，甚至是不可判定的。就像在黑暗的荒野中前行，除了手脚可感的有限的坚实，其余都是我们所不可预知的……”
“那这样的话，数学还有什么意义呢……”邦彦喃喃道。
“也并非全然没有，”角谷笑笑，“无论数学本身如何发展，也终究是属于人类的学科——正如我们的眼睛只能看到波长三百八十到七百四十纳米之间的光，耳朵只能听到二十至两万赫兹的声音一样，以人的视角来理解世界的学科，不可能没有局限。”
“何况哥德尔的不完备定理已经发表了八十多年。而在之后的时间里，仍然不断有全新的分支学科或者数学工具被发掘出来——比如代数几何和里奇流。虽然所有人都知道这些新的学科是不完美的，因为它们的系统都不完备。但这并不能否定它们的意义——就算只是建立在不可自证的公理的无根浮冰上的瞭望塔，每增高一分，便总能看得更加遥远一点。”
这顿早餐吃得有些漫长。等到邦彦收拾好碗筷和一些角谷丢弃的、写满了字的草稿纸，端着托盘走下楼梯的时候，太阳已经升得很高了。京都的盛夏异常燠热，阳光照得平坦的庭院里亮晃晃的。只有屋后的树林里仍旧一片阴冷，乌黑的树阴如同没有人下水的池塘。离准备午饭的时间还有些早，邦彦将托盘交给厨房里负责洗碗的年轻女工，转身回到自己房间并掩上了门。
邦彦展开手里的几页草稿纸。角谷的笔迹纤秀细密，满满当当地占据了几乎全部的篇幅，无数的数学符号充斥其中，看起来像是连篇累牍的证明。他想细细看下去，但很快就皱起了眉头——角谷的手稿似乎又与普通的数学证明过程不一样。虽然看不明白，但邦彦隐隐地感到它完全不像教科书中的证明那样流畅简洁，充满自然的美感。角谷的手稿晦涩而抽象，字里行间仿佛隐隐凝聚着乌云，有形有质，挥之不散。
他看了一会儿，将其中的一页纸翻过来，不禁惊讶地睁大了眼睛——纸的背后，用极粗的钢笔涂写着什么。虽然重重叠叠有些看不清楚，但还是能看得出那是两行极短的文字。墨迹几乎深透纸背，显然写得极其用力，仿佛是不屈而深沉的呐喊。邦彦仔细看了许久才辨认出来，白色的纸面上，力透纸背地写着两行字，写着无数行同样的两行字——
wirmussenwissen.
wirwardenwissen.
两行简短的文字如同阳光般穿透脑海。他认识它们，在那些他凭着兴趣阅读数学史的夜晚见过它们——那是1930年，六十八岁的大卫·希尔伯特卸任之时，在故乡柯尼斯堡的集会上所做的最后一次演讲：
“……我们不可以相信现今那种人，他们带着一副深思熟虑的表情，以自命不凡的语调预言文化衰落，自我陶醉于不可知当中。对我们而言没有什么不可知，并且按我的观点，对于自然的科学也根本没有。相反，代替那愚蠢的不可知，我们的口号是——”
初老的数学泰斗停住了，缓缓将目光投向远方。远处，初升的太阳正在升起，建筑物的阴影缓慢地、蠕行着向后退去，这古老庄严的城市正在慢慢苏醒。而在更远的地方，宽阔的普列戈利亚河浩荡萦带、波澜不惊地流向天际。七座伟大而古老的石桥[1]历尽风雨，依旧雄踞在浩浩河水之上。就算再过千百年，这土地、河流与城市依旧还能记得那些如它们一般沉静温厚、严谨端方的名字：克里斯蒂安·哥德巴赫、莱昂哈德·欧拉、赫尔曼·闵可夫斯基……和暖的轻风缓缓吹过城市，天空中响起了鸽哨。一群灰鸽子盘旋着飞上去了，麇集在天空那明亮而又柔软的羽毛下。
一生的成就如走马灯般从眼前掠过，老人的脑袋忽地变轻了。一股燥热火辣辣地直抵胸口而来，骨头架子里仿佛打开了弹簧，撑出了另一副骨头架子。他深深地吸了一口清晨含着凉意的空气，带着少年般的自信与激昂，一字一句地说道——
“我们必须知道。”
“我们必将知道。”
与角谷的这次交谈有如一道魔咒。也就是从这一天起，邦彦就不能心无挂碍地学习数学了——即便回到东京之后也是如此。无论之后遇见如何伟大的定理抑或流畅美丽的证明，总会有令人不悦的声音在心底响起，残酷而痛苦地提醒着他，告诉他这些定理和体系都是不完备的，不完备的，不完备的……他重重地叹了口气，懊丧地掷下手中的书，转头看向窗外。
一片黄叶掠过窗前，东京的秋天已经来了。略带寒意的秋风吹过，几株尚未落尽黄叶的老树一齐发出簌簌轻响。夕阳的光芒自屋舍的檐瓦间斜斜劈射下来，齐齐斩印出残叶半脱的斑驳树影。红郁阴亮的残阳渐渐沉落，驳杂的疏影缓缓越过校园里福泽谕吉的半身铜像，在地上拓印出光怪陆离的痕迹来。
如果数学的不完备果真如同角谷所说的一样，是人类不完美的感知所带来的必然结果，那么“真正”的，作为真理而存在的数学，是不是应该仍然是完备的？那么这样完备的数学体系，又要如何才能感知得到？
更进一步说，这些不完备的体系在人类眼中都已经显得严谨、自然而且美丽，那么真正完备的、无懈可击的数学又将会是何等令人惊叹？至于角谷的手稿——邦彦皱着眉头又读了一遍，依然无法理解——纸上密密麻麻地写着无数像是数学证明般的逻辑推演，却又和普通的证明并不相同。如果这些复杂的手稿真的是什么“我们必将知道”的东西，那么它们到底又是什么呢？
“你是从哪里找到这些东西的？”
岩泽丰教授从办公桌后站起身来，轻轻掩上了办公室的门。角谷的手稿被胡乱摊在桌子上，随手搁置在一侧的陶碗里的茶已经有些凉了，但仍有些淡薄的白雾从碗口轻轻飘升上来，丝丝缕缕，连绵不断。
“夹在图书馆的一本书里的，我看不太懂，就拿给岩泽老师您看看。”邦彦不愿多做解释，便顺嘴撒了个谎，“虽然感觉有些无法理解，但这些东西看起来却像是数学证明的样子。”
“的确是数学证明。”教授接过了话头，“之所以让人感觉无法理解，是因为这套证明的逻辑是拒绝算术公理的。”
有些熟悉的词汇像火星般在邦彦心头一跳，他猛地抬起头来，正对上教授若有所思的眼神。
“数学是抽象的，但人类对数学的认识过程却是直观的：比如从‘两个苹果和两个梨一样多’这样的事实得到‘二等于二’的结论。而这种无需证明就能被人们轻易理解的结论，便被称为公理。”
“虽然公理的正确性应该是毋庸置疑的，但拒绝某些公理却也不一定会得到全然错误的结论。比如历史上对平行公理的拒绝——这直接导致了球面和鞍面上非欧几何的诞生。与此类似的还有现代集合论中的选择公理——与其相矛盾的结论直到今天还在被研究着。稍加留意的话就会发现，数学中的一些分支学科其实最初就是来源于对体系中某一条公理的拒绝，如同从巨石堆中劈砍出新的道路。不同的数学领域被这些道路相互连接，最终成为相互勾连，而又浑然一体的巨大理性城堡。”
“但这份手稿有些与众不同，因为它拒绝的是整个算术公理系统，而后者是人类几千年来对‘数’的最直观认识。从算术公理中得到的两个最基本的结论——自然数的定义和数学归纳法，则是一切代数系统的核心。如果越出算术公理，那么恐怕连‘数’这个概念本身，都是难以被理解的。”
“因此，”岩泽推了推眼镜，轻轻地叹了口气，“也许愚钝的人是我，我并不明白它的意义何在，尽管它看上去并没有错误。但看上去没有错误的结论，在数学中可能并不是一个有意义的结果。你可以认为数学是科学或者哲学，但无论如何，它都不是纯粹的逻辑游戏，不是虽然正确却全然没有价值的东西。”
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邦彦沉默了片刻，没有说话，不大的办公室里一时陷入了寂静之中。突然传来哗啦啦的一阵轻响，是窗外老树的瘦枝摇晃的声音，一只飞雀从树枝上跃起，扑棱棱去得远了。
“挂谷君，”最后依然是岩泽打破了沉默。年过半百的教授抬起眼睛，静静地看着微微有些发呆的学生，“明年春假你有什么安排吗，要不要留在学校当我的研究助手？”
“不了，”年轻的学生微微一笑，眼神清亮，“谢谢老师您的好意，但明年春天，我还是想回京都。”
第二年春天，邦彦回到京都的时候，满城的樱花几乎已经全部盛开了。春天的樱花本来随处可见，但京都毕竟千年繁华，建筑大多低矮古朴，却是鳞次栉比，越发衬得樱树旁枝斜逸，亭亭如盖，偏要与众不同。路旁最多的是白色的染井吉野樱，小花在枝丫上开得绚烂，层层叠叠，素白无垢，如新雪初降。中间偶或露出一丛红色的八重垂枝樱来，在白色的花丛中开得耀眼，又仿佛素绢上泼了丹砂，美得触目惊心。
这原本也是邦彦打小看惯了的风景，但他如今在东京求学，久别故乡，因此看到樱花繁盛，竟然有些感动。一路走走停停，直到黄昏时他才回到自家的旅舍。此时夕阳还没来得及落下地平线，因此走廊里也并未点灯。阳光被树丛与窗棂割碎，映在雪白的墙壁上，星星点点，色若淡金，木质的楼板随着足步发出吱吱细响。他走着走着，却突然停住了——他看见角谷背着他站在走廊中，仿佛在和谁说着什么。
“啊，挂谷君。”角谷听到身后的脚步声转过身来——近一年不见，角谷明显有些老了，短短的头发变得更白。这个男人此时似乎有些不悦的神色，于是额上的皱纹更加明显，它们在角谷的额角投下浓重的阴影，深得仿佛刀砍斧削。
“从东京回来了啊，一路奔波，辛苦了。”角谷说。
邦彦客气地点头还礼，目光却不自觉地越过角谷的肩膀看向他身后。角谷的身后站着一个女孩，看上去不过十八九岁光景，面貌却并不认识。角谷在这里住了许多年，几乎一直闭门不出，独来独往，鲜少与人说过话。这是角谷老师的家人吗？他想。
角谷似乎看出他的神色，便轻轻地将女孩拉到自己身前。“这是我的女儿凛子。今年刚刚高中毕业，来京都看我。”头发花白的父亲微笑着说。